数学史与小学数学教学
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【摘要】20世纪70年代，数学史与数学教育之间的关系就成了数学教育的研究领域。
在小学阶段，能用于数学教学的历史素材可以按照其作用来分类;学生对数学的理解过程和数学的历史发展过程有一定的相似性;教师在教学中运用数学史的方式主要有附加式、复制式、顺应式和重构式等。
【关键词】数学史;教育取向;历史相似性;运用方式
【作者简介】汪晓勤，华东师范大学数学系(上海，200241)教授，博士生导师，中国科学院科学技术史博士，全国数学教育研究会副理事长，全国数学史学会副理事长，《数学教育学报》副主编。
奥地利著名物理学家和哲学家马赫曾经说过：“没有任何科学教育可以不重视科学的历史与哲学。”这一观点同样适用于数学教育。
也许有人会说：“我对数学史一无所知，不也把数学教得很好吗?”诚然，在我们今天这个以分数论英雄的时代，这句话或许并没有错。
但是，如何解决“分数可观、情感消极”“解题无数、理解缺失”等矛盾?如何在课堂上营造“知识之谐”、展示“方法之美”、实现“情感之悦”，从而让学生接受更美好的数学教育呢?把数学史融入小学数学教学，是值得我们探索的一条理想途径。
实际上，早在20世纪70年代，数学史与数学教育之间的关系(History and Pedagogy of Mathematics，简称HPM)就已经成了数学教育的一个研究领域。
走进小学数学的世界，我们赫然发现，有关HPM研究的主题竟如此丰富多彩、引人入胜。
限于篇幅，本文只讨论其中的三个主题。
一、教育取向的数学史
数学史是一座巨大的宝藏，其中包含大量的教学素材。
数学史之所以有着“高评价、低应用”的境遇，原因固然有很多种，但数学教师手头缺乏实用的数学史素材，是最主要的原因之一。
另一方面，对小学数学教学中许多问题的探讨，如小数和分数孰先孰后、简易方程的必要性等，都需要以数学史作为参照。
因此，教育取向的数学史研究是HPM领域不可或缺的基础性工作。
教育取向的数学史料浩如烟海，大致可以按照其作用来分类，下面举两类例子。
1.“情感”取向的历史素材。
比利时科学史家萨顿曾经说过：“在科学和人文之间只有一座桥梁，那就是科学史，建造这座桥梁是我们这个时代的主要文化需要。”据此，我们同样可以说：“在数学和人文之间只有一座桥梁，那就是数学史，建造这座桥梁是我们这个时代数学教育的需要。”小学数学在培养学生的数学思维，让学生掌握基本知识和技能的同时，还应该传递数学背后的人文精神，为塑造学生的人格品质提供正能量。
数学是人类的文化活动，不同时空的数学家都对数学的发展做出过贡献，他们的勤奋、执着、坚韧、担当，他们对真、善、美的不懈追求，无不是我们宝贵的精神财富。
古希腊数学家泰勒斯勤于天文观测，坚持不懈，风雨无阻，有一次竟不慎掉入水沟，他通过拼图发现了三角形内角和定理。
中国南北朝时期的数学家祖��(祖冲之之子)在思考问题时专心致志，天打响雷都听不见，走路时竟撞上仆射徐勉，徐勉叫唤后才醒悟过来，他最终解决了球体积的难题。
17世纪英国哲学家霍布斯40岁开始学习数学，最终成为数学家。
19世纪苏格兰数学家华里司逆境成才，从一名书籍装帧的学徒工到爱丁堡大学数学教授，谱写了人生的传奇。
沟通数学与人文，能更全面地发挥数学的育人价值。
但是，在小学数学课堂上太缺乏数学故事了，需要我们不断从数学史文献中去发掘、整理和加工。
2.“方法”取向的历史素材。
每一个公式和法则都有它的'历史，无论是它背后的思想方法，还是它从不完善到完善的演进过程，都能为教学提供借鉴。
以“分数除法”为例，成书于1世纪的《九章算术》采用通分法：■÷■=■÷■=■;而印度数学家婆罗摩笈多(7世纪)和婆什迦罗(12世纪)采用我们熟悉的颠倒除数分子分母法：■÷■=■×■=■;这种方法在15―16世纪的欧洲却鲜为人知。
欧洲人除了采用《九章算术》中的通分法，还采用了很流行的交叉相乘法[1]：■。
直到17世纪，颠倒除数分子分母法才逐渐被人们广泛采用。
从教材中我们可能只能看见一棵树，从历史中我们却可能会看到一片森林。
二、历史相似性
所谓历史相似性，是指人对数学的理解过程与数学的历史发展过程具有一定的平行性，这是数学史融入数学教学的理论基础。
但是，学生对某个数学概念的理解是否真的存在历史相似性，需要我们做深入细致的实证研究。
如果历史相似性得到印证，那么，数学史就成了一面镜子，通过这面镜子，教师可以预测学生对有关知识点可能会产生的认知困难，从而制订合理的教学策略。
例如学生对“除以零”的理解。
数学上为什么要做出这样的规定?其实，历史上数学家对这个问题也多有困惑。
婆罗摩笈多认为0÷0=0;摩诃毗罗认为a÷0=a(a≠0);释律帕提认为a÷0=0(a≠0);而婆什迦罗虽然用相当于我们今天的专有名词来表示a÷0的结果，但他认为(a×0)÷0=a。
Reys和Grouws对中学生进行访谈[2]，一位八年级学生认为0÷0=0，并解释说：“一无所有除以一无所有，什么都得不到。”Wheeler和Feghali对52名职前小学教师的研究发现[3]：职前小学教师在“除以零”的理解上存在困难，67%的职前教师认为0÷0=0。
Ball对19名职前中小学教师进行访谈[4]，发现很少有人能合理解释为什么0不能作为除数。
Even和Tirosh对33名以色列中学数学教师进行调查，发现很多教师对于“为何4÷0无意义”的解释是“一种规定”[5]。
Crespo和Nicol在教学中发现[6]：小学生和职前小学教师普遍认为5÷0=0。
上述研究表明，今天学生对于“除以零”的困惑或误解确实具有历史相似性。
三、教学实践
要让小学数学教师充分认识和普遍接受HPM，首先要让他们看到成功的教学案例。
HPM视角下的数学教学，不能生硬地为历史而历史，必须兼顾知识点的历史发生、发展顺序、逻辑顺序以及儿童的心理发生、发展顺序。
数学史的运用方式也并不是单一的，有附加式、复制式、顺应式和重构式，视课堂需求而定。
附加式是指在课堂上讲述数学故事、人物生平、历史背景等。
例如：在引入“大数”时，讲述古希腊数学家阿基米德数沙的故事;在讲授“三角形的内角和”时，讲述法国数学家帕斯卡少年时代通过折纸证明三角形内角和定理的故事;在讲授“用字母表示数”时，讲述“未知数为什么用x来表示”的故事;在引入“众数”时，讲述古希腊伯罗奔尼撒战争中普拉提亚人数城墙砖块的故事;等等。
复制式是指在教学中直接使用历史上的数学问题。
例如，人教版六上“数学广角”单元即含有两个古代数学名题：一是《孙子算经》中的“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”一是《算法统宗》中的“僧分馒头”问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争。
小僧三人分一个，大小和尚得几丁?”古代数学名题犹如陈年佳酿，必能在课堂上散发醇香。
顺应式是指将数学史上的数学问题进行改编，或利用数学史材料编制数学问题，以顺应当前教学的需要。
例如，欧几里得《几何原本》第1卷命题37为：“同底且位于相同的两条平行线之间的三角形(面积)相等。”[8]利用该命题，可编制如下问题(人教版五上)：图1中有几对面积相等的三角形?(阴影部分的一对三角形被称为“欧几里得蝴蝶”)利用中国古代的七巧板，可编制如下分数问题(人教版五下)：图2中每个图形的面积占整个正方形面积的几分之几?图形7和4共占几分之几?图形3、4、5共占几分之几?
很多概念如果直接按照历史进行教学，可能并不自然，因而需要对历史进行重构。
以“负数”为例，我们知道，中国古代数学家因为解方程的需要而率先使用负数。
汉代数学名著《九章算术》方程章第3题所解的三元一次方程组问题是2x+y=13y+z=14z+x=1，第三个方程两边乘2，与第一个方程相减，出现了正数不够用的情形：y的系数等于0-1。
《九章算术》中不仅有正负数，还建立了正负数加减法则，即“正负术”。
加法法则为：“异名相除，同名相益;正无人正之，负无人负之。”即异号两数相加，绝对值相减;同号两数相加，绝对值相加;0加正数为正，0加负数为负。
类似地，减法法则为：“同名相除，异名相益;正无人负之，负无人正之。”魏晋时期数学家刘徽在注释“正负术”时说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”在西方，13世纪意大利数学家斐波那契认为：方程x+36=33没有根，除非第一个人(x)欠债3个钱币。
16世纪德国数学家斯蒂菲尔指出：零减去一个大于零的数所得结果“小于一无所有”，是“荒谬的数”。
17世纪法国数学家帕斯卡则认为：0减去4纯属无稽之谈。
18世纪，仍有数学家感到困惑：世界上还有什么东西会“小于一无所有”?直到19世纪，还有数学家不接受负数。
显然，我们不能直接通过一元一次方程或二元一次方程组来引入负数;而历史又告诉我们，学生对于“直接从零中减去一个正数”这样的运算会感到困惑，所以也不能用它来引入负数，因此，只能通过重构式了。
四、结语
数学史有助于营造“知识之谐”，展现“方法之美”，成就“情感之悦”，实为数学教育所不可或缺。
数学史与数学教育之间的关系博大精深，足以成为小学数学教育中一个前景无限广阔的研究领域。
然而，无论是文献研究还是实证研究，目前我们所见到的有价值的成果还是很有限的。
虽然蔡宏圣老师和他的团队筚路蓝缕，取得了引人注目的成绩，但一个“小学HPM学术共同体”还有待建立。
我们热切期待有更多的小学数学教育研究者和一线教师关注HPM、走进HPM、研究HPM、实践HPM。
【参考文献】
[1]Smith，D.E.(1925).History of Mathematics(Vol.2).Boston：Ginn & Company，1925.226-227.
[2]Reys，R.E.& Grouws，D.A.(1975).Division involving zero：Some revealing thoughts from interviewing children.School Science and Mathematics，75(7)：593-605.
[3]Wheeler，M.M.& Feghali，I.(1983).Much ado about nothing：Preservice elementary school teachers’ concept of zero.Journal for Research in Mathematics Education，14(3)：147-155.
[4]Ball，D.L.(1990). Prospective elementary and secondary teachers’ understanding of division.Journal for Research in Mathematics Education，21：132-144.
[5]Even，R.，& Tirosh，D.(1995). Subject-matter knowledge and knowledge about students as sources of teacher presentations of the subject-matter.Educational Studies in Mathematics，29：1-20.
[6]Crespo，S.，Nicol，C.(2006).Challenging preservice teachers’ mathematical understanding：the case of division by zero.School Science and Mathematics，106(2)：84-97.
[7]Keiser，J.M.(2004).Struggles with developing the concept of angle：comparing sixth-grade students’ discourse to the history of angle concept.Mathematical Thinking and Learning，6(3)：285-306.
[8]Heath，T.L.(1968).The Thirteen Books of Euclid’s Elements(Vol.1).Cambridge：The University Press.332.
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